Question

1．已知sinα和cosα是方程5x²-x+m=0的兩實(shí)根．求：
（1）m的值；
（2）當(dāng)α∈（0，π）時(shí)，求cot（3π-α）的值；
（3）sin⁴α+cos⁴α的值．

Answer 1

分析 （1）利用韋達(dá)定理表示出sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=$\frac{m}{5}$，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
（2）當(dāng)α∈（0，π）時(shí)，判斷角的范圍，利用（1）的結(jié)果求出tanα，然后利用誘導(dǎo)公式求cot（3π-α）的值即可．
（3）利用（1）的結(jié)果化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（1）∵sinα和cosα是方程5x²-x+m=0的兩實(shí)根，
∴sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=$\frac{m}{5}$，
∵（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα，
∴$\frac{1}{25}$=1+$\frac{2m}{5}$，
解得：m=-$\frac{12}{5}$．
（2）sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=-$\frac{12}{25}$；α是鈍角，可得：$\frac{tanα}{{tan}^{2}α+1}=-\frac{12}{25}$，解得tanα=$-\frac{3}{4}$或-$\frac{4}{3}$．
當(dāng)α∈（0，π）時(shí)，cot（3π-α）=-cotα=$\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}$．
（3）sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=-$\frac{12}{25}$；
sin⁴α+cos⁴α=1-2（sinαcosα）²=$\frac{227}{625}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．