Question

9．若不等式x²+2$\sqrt{2}$xy≤a（x²+y²）對于一切正數(shù)x，y恒成立，則實數(shù)a的最小值為2．

Answer 1

分析 x²+2$\sqrt{2}$xy≤a（x²+y²）?（a-1）（$\frac{x}{y}$）²-2$\sqrt{2}$×$\frac{x}{y}$+a≥0，對于一切正數(shù)x，y恒成立，依題意，令f（t）=（a-1）t²-2t+a，列不等式組$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{f（\frac{\sqrt{2}}{a-1}）≥0}\end{array}\right.$，解之即可得答案．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴x²+2$\sqrt{2}$xy≤a（x²+y²）?（a-1）（$\frac{x}{y}$）²-2$\sqrt{2}$×$\frac{x}{y}$+a≥0，
令t=$\frac{x}{y}$（t＞0），f（t）=（a-1）t²-2$\sqrt{2}$t+a，
依題意，$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{f（\frac{\sqrt{2}}{a-1}）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a-\frac{2}{a-1}≥0}\end{array}\right.$，解得a≥2．
∴實數(shù)a的最小值為2．
故答案為：2

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查轉化與構造函數(shù)思想，考查解不等式組的能力，屬于難題．