Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{2}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件，利用作差法，以及累積法進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1，
兩式作差得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，（n+1）（n-1）a_n=（n-1）²a_n-1，
即（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{3}{5}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{4}$•$\frac{3}{5}$…$\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{1×2}{n（n+1）}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$，不滿足a_n，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{2}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{2}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用作差法以及累積法是解決本題的關(guān)鍵．