Question

已知拋物線S的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線方程為l：4x+y-20=0．
（1）求拋物線S的方程；
（2）若M（m，3）在拋物線S的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)M的直線與拋物線在第一象限的切點(diǎn)為N，記F為拋物線S的焦點(diǎn)，求直線NF的斜率．
（注：△ABC重心：G（

xA+xB+xC

3

，

yA+yB+yC

3

））

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)拋物線S的方程為y²=2px，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合直線l與拋物線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得到根的判別式大于0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用重心公式即可求得p值，從而解決問(wèn)題．
（2）求出N的坐標(biāo)，再求直線NF的斜率．

解答： 解：（1）設(shè)拋物線S的方程為y²=2px．
4x+y-20=0與拋物線聯(lián)立，可得2y²+py-20p=0．
由△＞0，有p＞0，或p＜-160．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

p

2

，
∴x₁+x₂=10+

p

8

設(shè)A（x₃，y₃），由△ABC的重心為F（

p

2

，0），
則利用重心坐標(biāo)公式可得x₃=

11p

8

-10，y₃=

p

2

∵點(diǎn)A在拋物線S上，
∴(

p

2

)2=2p（

11p

8

-10），
∴p=8．
∴拋物線S的方程為y²=16x；
（2）拋物線S的準(zhǔn)線方程為x=-4，M（m，3）在拋物線S的準(zhǔn)線上，
∴M（-4，3），
設(shè)N（a，b），則由y²=16x可得y=4

x

，∴y′=

2

x

，
∴k_MN=

2

a

，
∵k_MN=

b-3

a+4

，
∴

4 a -3

a+4

=

2

a

，
∴

a

=

3+3 7

4

，
∴N（

36+9 7

8

，3+9

7

），
∴直線NF的斜率為

8(555-9 7 )

551

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定拋物線的方程是關(guān)鍵．