Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，a），證明：f（a+x）＞f（a-x）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，證明：α+β＞2α

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后求其最值；
（2）將不等式化簡歸零，然后問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，再構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)解決；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用函數(shù)的單調(diào)性可推出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）令f′(x)=

a

x

-1=

a-x

x

=0，所以x=a．
易知，x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
故函數(shù)f（x）在（0，a）上遞增，在（a，+∞）遞減．
故f（x）_max=f（a）=alna-a．
（Ⅱ）令g（x）=f（a-x）-f（a+x），即g（x）=aln（a-x）-aln（a+x）+2x．
所以g′(x)=

-a

a-x

-

a

a+x

+2=

-2x2

a2-x2

，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，g′（x）＜0．
所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a-x）．
（Ⅲ）依題意得：a＜α＜β，從而a-α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a-α）=f[a+（a-α）]＞f[a-（a-α）]=f（α）=f（β）．
又2a-α＞a，β＞a．所以2a-α＜β，即α+β＞2a．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解，注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．