Question

6．已知函f（x）=ax²-e^x．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，試判斷f（x）=的單調(diào)性并給予證明；
（Ⅱ）若f（x）=有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁＜x₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把導(dǎo)函數(shù)二次求導(dǎo)后，求出導(dǎo)函數(shù)的最大值，得到導(dǎo)函數(shù)的最大值小于0，從而得到原函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)；
（Ⅱ）把函數(shù)f（x）=ax²-e^x有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2ax-e^x有兩個(gè)根，分離變量a后分析右側(cè)函數(shù)h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的單調(diào)性，該函數(shù)先減后增有極小值，然后根據(jù)圖象的交點(diǎn)情況得到a的范圍；

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-e^x，f（x）在R上單調(diào)遞減．
事實(shí)上，要證f′（x）=x²-e^x在R上為減函數(shù)，只要證明f′（x）≤0對(duì)?x∈R恒成立即可，
設(shè)g（x）=f′（x）=2x-e^x，則g′（x）=2-e^x，
當(dāng)x=ln2時(shí)，g′（x）=0，
當(dāng)x∈（-∞，ln2）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（ln2，+∞）時(shí)，g′（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）在（-∞，ln2）上為增函數(shù)，在（ln2，+∞）上為減函數(shù)．
∴f′（x）_max=g（x）_max=g（ln2）=2ln2-2＜0，故f′（x）＜0恒成立
所以f（x）在R上單調(diào)遞減；                                    
（Ⅱ）由f（x）=ax²-e^x，所以，f′（x）=2ax-e^x．
若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，則x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個(gè)根，
故方程2ax-e^x=0有兩個(gè)根x₁，x₂，
又因?yàn)閤=0顯然不是該方程的根，所以方程2a=$\frac{{e}^{x}}{x}$有兩個(gè)根，
設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，得h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
若x＜0時(shí)，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
若x＞0時(shí)，h（x）＞0．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
要使方程2a=$\frac{{e}^{x}}{x}$ 有兩個(gè)根，需2a＞h（1）=e，故a＞$\frac{e}{2}$且0＜x₁＜1＜x₂．
故a的取值范圍為（$\frac{e}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查轉(zhuǎn)化思想，此題是有一定難度的題目．