Question

1．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，4），則|PM|+|PF₁|的最大值為15，最小值為$\sqrt{97}$．

Answer 1

分析 通過連結(jié)PF₂、|MF₂|，利用橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=10，通過兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可知|MF₂|=5，利用|PM|≥|PF₂|-|MF₂|、|PM|≤|PF₂|+|MF₂|，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：將M的坐標(biāo)代入橢圓方程可得$\frac{36}{25}$+1＞1，即M在橢圓外，
連結(jié)PF₂、MF₂，橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的a=5，b=4，c=3，
F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
由橢圓的定義可得，|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
|MF₂|=$\sqrt{（6-3）^{2}+（4-0）^{2}}$=5，
由|PM|+|PF₁|≥|MF₁|=$\sqrt{（6+3）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\sqrt{97}$，
∵|PM|≤|PF₂|+|MF₂|，
∴|PM|+|PF₁|≤|PF₂|+|MF₂|+|PF₁|≥10+5=15，
∴|PM|+|PF₁|的最大值和最小值分別為15和$\sqrt{97}$
故答案為：15，$\sqrt{97}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．