Question

15．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（　　）

• A． y=lnx³
• B． y=-x²
• C． y=x|x|
• D． $y=\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)定義域的特點(diǎn)，奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，二次函數(shù)、分段函數(shù)，及反比例函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：A．y=lnx³的定義域?yàn)椋?，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．y=-x²為偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．y=x|x|的定義域?yàn)镽，且（-x）|-x|=-x|x|；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
$y=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴該函數(shù)在[0，+∞），（-∞，0）上都是增函數(shù)，且0²=-0²；
∴該函數(shù)在R上為增函數(shù)，∴該選項(xiàng)正確；
D.$y=\frac{1}{x}$在定義域上沒有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性，以及二次函數(shù)、分段函數(shù)，和反比例函數(shù)的單調(diào)性．