Question

15．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（　�。�

• A． y=lnx³
• B． y=-x²
• C． y=x|x|
• D． $y=\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)定義域的特點，奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，二次函數(shù)、分段函數(shù)，及反比例函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項．

解答 解：A．y=lnx³的定義域為（0，+∞），不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤；
B．y=-x²為偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤；
C．y=x|x|的定義域為R，且（-x）|-x|=-x|x|；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
$y=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴該函數(shù)在[0，+∞），（-∞，0）上都是增函數(shù)，且0²=-0²；
∴該函數(shù)在R上為增函數(shù)，∴該選項正確；
D.$y=\frac{1}{x}$在定義域上沒有單調(diào)性，∴該選項錯誤．
故選：C．

點評 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，奇函數(shù)定義域的對稱性，以及二次函數(shù)、分段函數(shù)，和反比例函數(shù)的單調(diào)性．