Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，{a_n}與{$\sqrt{S_n}$}均為公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，則a₃的值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知，列出關(guān)于a₁、d的方程，求出a₁=d²，再由{$\sqrt{S_n}$}為公差為d（d≠0）的等差數(shù)列列式求得a₁和d，則答案可求．

解答 解：∵{a_n}與{$\sqrt{S_n}$}均為公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{{S}_{1}}$+（n-1）d=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d，又2a₂=a₁+a₃，
∴3a₂=S₃，即3（S₂-S₁）=S₃，
∴$3[（\sqrt{{a}_{1}}+d）^{2}-{a}_{1}]^{2}=（\sqrt{{a}_{1}}+2d）^{2}$，
化簡(jiǎn)得：${a}_{1}-2\sqrt{{a}_{1}}d+jpmntou^{2}=0$，即$\sqrt{{a}_{1}}=d$，
由$\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{S}_{1}}+d$，
得$\sqrt{2{a}_{1}+d}=\sqrt{{a}_{1}}+d$，即$\sqrt{213az87j^{2}+d}=2d$，解得：d=$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{1}=\frac{1}{4}$，
則${a}_{3}=\frac{1}{4}+2×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，考查探索、分析及論證的能力，屬中檔題．