Question

6．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{\root{3}{x}}$）⁵的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為80，則x${\;}^{\frac{5}{6}}$的系數(shù)為40．

Answer 1

分析 在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于80求得實(shí)數(shù)a的值，從而求得x${\;}^{\frac{5}{6}}$的系數(shù)．

解答 解：∵（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{\root{3}{x}}$）⁵的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{5}^{r}$•a^r•${x}^{\frac{15-5r}{6}}$，令$\frac{15-5r}{6}$=0，求得r=3，
即常數(shù)項(xiàng)為${C}_{5}^{3}$•a³=80，求得a=2．
故展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{5}^{r}$•2^r•${x}^{\frac{15-5r}{6}}$，令r=2，可得則x${\;}^{\frac{5}{6}}$的系數(shù)為40，
故答案為：40．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．