Question

13．將長(zhǎng)為$\sqrt{3}$、寬為1的矩形繞著它的一條對(duì)角線旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的體積為$\frac{7π}{9}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形得出旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，利用旋轉(zhuǎn)體的體積公式求出該幾何體的體積．

解答 解：如圖所示；
將矩形對(duì)角線右側(cè)部分鏡像至左側(cè)，可視為左側(cè)部分圖形繞原矩形對(duì)角線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體；其體積相當(dāng)于半個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)體體積的兩倍減去圖中間陰影等腰三角形繞矩形對(duì)角線旋轉(zhuǎn)所得幾何體體積；
半個(gè)矩形繞對(duì)角線旋轉(zhuǎn)所得幾何體相當(dāng)于兩個(gè)對(duì)底圓錐：
底面半徑 R=$\frac{1×\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
兩錐體合高 h₁+h₂=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
體積 v=$\frac{1}{3}$πR²•（h₁+h₂）=$\frac{1}{3}$π•${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$•2=$\frac{π}{2}$；
圖中陰影等腰三角形底邊即原矩形對(duì)角線 h=2，是旋轉(zhuǎn)后所成幾何體的兩對(duì)底錐的加和高度；該對(duì)底錐底面半徑就是等腰三角形的高 r=$\frac{2}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
旋轉(zhuǎn)體體積V₁=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{3}$π${（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}$•2=$\frac{2π}{9}$；
該矩形繞對(duì)角線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為
V_幾何體=2v-V₁=2×$\frac{π}{2}$-$\frac{2π}{9}$=$\frac{7π}{9}$．
故答案為：$\frac{7π}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的定義與結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間想象能力與計(jì)算能力的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目