Question

11．如圖，三棱柱CB=AC=CC₁，CB⊥AC，E，F(xiàn)分別是A₁B，B₁C₁的中點(diǎn)，AA₁⊥底面ABC．
（1）求證：B₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）求證：EF∥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用向量法能證明B₁C⊥BC₁，B₁C⊥BA₁，即可證明B₁C⊥平面A₁BC₁．
（2）由（1）可得：$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），平面ACC₁A₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），利用$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{n}$=0，即可證明EF∥平面ACC₁A₁．

解答 證明：（1）如圖，以C為原點(diǎn)，CB，CA，CC₁為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AC=2，則由CB=AC=CC₁，得C（0，0，0），B（2，0，0），C₁（0，0，2），A₁（0，2，2），B₁（2，0，2），（6分）
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A₁B，B₁C₁的中點(diǎn)，
所以E（1，1，1），F(xiàn)（1，0，2）．（7分）
所以$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，2，2），
因?yàn)椋?\overrightarrow{{B}_{1}C}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，-2）•（-2，0，2）=0，
所以：B₁C⊥BC₁，
因?yàn)椋?\overrightarrow{{B}_{1}C}$•$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，0，-2）•（-2，2，2）=0，
所以：B₁C⊥BA₁，
又A₁B∩C₁B=B，
所以B₁C⊥平面A₁BC₁．（9分）
（2）由（1）可得：$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），
由題意可得平面ACC₁A₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
可得：$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1）•（1，0，0）=0，
可得：EF∥平面ACC₁A₁．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．