Question

20．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．點(diǎn)D為橢圓E上任意一點(diǎn)，△DF₁F₂面積最大值為1，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知過點(diǎn)（1，0）的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，試問：在直線x=2上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是以點(diǎn)P為直角的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過△DF₁F₂面積最大值為1可得bc=1，利用$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$計(jì)算即可得結(jié)論；
（2）分直線l的斜率是否為0兩種情況討論，顯然當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)不存在符合題意的點(diǎn)P；當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，聯(lián)立直線l與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式可得|AB|的表達(dá)式，利用△PAB是以點(diǎn)P為直角的等腰直角三角形可得k_AB•k_PM=-1、$|\overrightarrow{PM}|$=$\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{AB}|$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)D（x₀，y₀），∵|y₀|≤b，∴${S}_{△D{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{0}|$≤bc=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）結(jié)論：在直線x=2上是不存在點(diǎn)P，使得△PAB是以點(diǎn)P為直角的等腰直角三角形．
理由如下：
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)P；
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：x=1+my，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1+my}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2+m²）y²+2my-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$
=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}•{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{m}^{2}}}{2+{m}^{2}}$
=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（x₃，y₃），
則y₃=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{m}{2+{m}^{2}}$，∴x₃=1+my₃=$\frac{2}{2+{m}^{2}}$，
∵△PAB是以點(diǎn)P為直角的等腰直角三角形，
∴AB⊥PM，且$|\overrightarrow{PM}|$=$\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{AB}|$，
∴k_AB•k_PM=-1，即$\frac{1}{m}•\frac{{y}_{P}-{y}_{3}}{{x}_{P}-{x}_{3}}$=-1，
∴y_P-y₃=-m（x_P-x₃），
又∵x_P=2，∴y_P-y₃=-m（2-x₃），
∴|PM|=$\sqrt{（{x}_{P}-{x}_{3}）^{2}+（{y}_{P}-{y}_{3}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|2-$\frac{2}{2+{m}^{2}}$|
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{2（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
∵$|\overrightarrow{PM}|$=$\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{AB}|$，∴$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{2（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
解得：$\sqrt{1+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，這是不可能的，即方程無解，
故在直線x=2上是不存在點(diǎn)P，使得△PAB是以點(diǎn)P為直角的等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．