Question

15．設(shè)0＜x＜1，a，b都為大于零的常數(shù)，則$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{1-x}$的最小值為（　�。�

• A． （a-b）²
• B． （a+b）²
• C． a²b²
• D． a²

Answer 1

分析 由于[x+（1-x）]=1，$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{1-x}$乘以[x+（1-x）]，然后展開由基本不等式求最值即可．

解答 解：0＜x＜1，可得1-x＞0，
$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{1-x}$=（$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{1-x}$）[x+（1-x）]=a²+b²+$\frac{（1-x）{a}^{2}}{x}$+$\frac{x^{2}}{1-x}$
由基本不等式可得a²+b²+$\frac{（1-x）{a}^{2}}{x}$+$\frac{x^{2}}{1-x}$≥a²+b²+2$\sqrt{\frac{（1-x）{a}^{2}}{x}•\frac{x^{2}}{1-x}}$
=a²+b²+2$\sqrt{{a}^{2}^{2}}$=a²+b²+2ab=（a+b）²
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{（1-x）{a}^{2}}{x}$=$\frac{x^{2}}{1-x}$，即x=$\frac{a}{a+b}$時(shí)，取等號(hào)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題為基本不等式求最值，給要求的式子乘以[x+（1-x）]是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．