Question

9．若直線ax+by=1與圓x²+y²=1相切，則該直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積的最小值等于（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線與圓相切圓心到直線的距離d=r，得出a²+b²=1；再求直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積，利用基本不等式求出三角形面積的最小值．

解答 解：直線ax+by=1與圓x²+y²=1相切，則圓心O（0，0）到直線的距離為d=r，
即$\frac{|-1|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$=1，
∴a²+b²=1；
又直線ax+by=1與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（$\frac{1}{a}$，0），B（0，$\frac{1}$），
∴直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是：
S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|OA|•|OB|=$\frac{1}{2|a||b|}$，
又a²+b²≥2|a||b|，
∴$\frac{1}{2|a||b|}$≥$\frac{1}{{a}^{2}{+b}^{2}}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時(shí)取“=”，
即直線ax+by=1與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小值是1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問題，是中檔題．