12．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=2，點E在棱PC上．
（1）點E在何處時，PA∥平面EBD，并加以證明．
（2）求正四棱錐P-ABCD的體積．

分析 （1）連接底面對角線，交于點O，連接OE，利用三角形中位線的性質(zhì)可得OE∥PA，再由線面平行的判定得答案；
（2）求解直角三角形得到四棱錐的高，代入體積公式求得正四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）證明：點E為PC的中點時，PA∥平面EBD．
連接AC交BD 于點O，連接EO．
在正方形ABCD中，AO=OC，又PE=EC，
∴OE為三角形PAC的中位線，
∴OE∥PA，
又∵PA?平面B 1CD，OE?平面B 1CD，
∴PA∥平面EBD；
（2）連接PO，在正四棱錐P-ABCD中，PO⊥底面ABCD，
∵底面為邊長是2的正方形，∴$AO=\sqrt{2}$，
在Rt△POA中，又PA=2，∴$PO=\sqrt{2}$，
則${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×4×\sqrt{2}=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了棱錐體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．

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