Question

△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，已知a²+c²+

2

ac=b²，
（1）求B；
（2）設(shè)cosAcosC=

3

5

2

，

cos(α+A)cos(α+C)

cos2α

=

2

5

，求tanα．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由a²+c²+

2

ac=b²得a²+c²-b²=-

2

ac，根據(jù)余弦定理求出cosB的值，再求角B的值；
（2）根據(jù)兩角和的余弦公式、商的關(guān)系、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)

cos(α+A)cos(α+C)

cos2α

=

2

5

，再由內(nèi)角和定理求出A+C=

π

4

，再求出sin（A+C）的值，根據(jù)條件、兩角和余弦公式化簡(jiǎn)cos（A+C）求出sinAsinC的值，把數(shù)據(jù)代入化簡(jiǎn)后再求出tanα的值．

解答： 解：（1）由a²+c²+

2

ac=b²得，a²+c²-b²=-

2

ac，
由余弦定理得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

2

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

3π

4

；
（2）由題意得，

cos(α+A)cos(α+C)

cos2α

=

2

5

，
則

(cosαcosA-sinαsinA)(cosαcosC-sinαsinC)

cos2α

=

2

5

，
（cosA-tanαsinA）（cosC-tanαsinC）=

2

5

化簡(jiǎn)得，cosAcosC-tanα（cosAsinC+tanαsinAcosC）+tan²αsinAsinC=

2

5

，
即cosAcosC-tanαsin（A+C）+tan²αsinAsinC=

2

5

，①
由B=

3π

4

得，A+C=

π

4

，則sin（A+C）=

2

2

，
cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=

2

2

，
把cosAcosC=

3

5

2

代入上式得，sinAsinC=

3

5

2

-

2

2

=

2

10

，
把上面的數(shù)據(jù)代入①得，

3

5

2

-

2

2

tanα+

2

10

tan2α=

2

5

，
化簡(jiǎn)得，tan²α-5tanα+4=0，
解得，tanα=1或tanα=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，兩角和的正弦、余弦公式，商的關(guān)系的綜合應(yīng)用，熟練掌握公式并會(huì)應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的化簡(jiǎn)計(jì)算能力．