Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

1 an2 +1

=

1

an+1

，記S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，若S_2n+1-S_n≤

t

30

對任意n∈N^*恒成立，則正整數(shù)t的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由數(shù)列遞推式得到{

1

an2

}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，求出an2=

1

n

，利用作差法證得數(shù)列
{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，求出其最大項(xiàng)后代入S_2n+1-S_n≤

t

30

，則正整數(shù)t的最小值可求．

解答： 解：由

1 an2 +1

=

1

an+1

，得

1

an+12

-

1

an2

=1，
∴{

1

an2

}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an2

=1+(n-1)=n．
∴an2=

1

n

．
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=

1

n+1

-

1

2n+2

-

1

2n+3

=

1

2n+2

-

1

2n+3

＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項(xiàng)為
S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

2

+

1

3

=

5

6

．
∵S_2n+1-S_n≤

t

30

對任意n∈N^*恒成立，
∴

5

6

≤

t

30

，即t≥25．
故答案為：25．

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的通項(xiàng)公式和單調(diào)性的靈活運(yùn)用．