Question

16．已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則三棱柱的體積的最大值為1．

Answer 1

分析 設底面邊長為a，用a表示出棱柱的高，得出體積關于a的函數(shù)，利用導數(shù)求出此函數(shù)的最大值．

解答 解過球心O作OD⊥平面ABC，則D為正三角形的中心，連結(jié)OA，則OA=1．
設三棱柱的底面邊長為a，則AD=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．（0$＜a＜\sqrt{3}$）．
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{3}}$．
∴棱柱的高DD′=2OD′=2$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{3}}$．
∴棱柱的體積V=S_△ABC•DD′=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×2\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3{a}^{4}-{a}^{6}}}{2}$．
令f（a）=3a⁴-a⁶．
則f′（a）=12a³-6a⁵=6a³（2-a²），令f′（a）=0得a=$\sqrt{2}$或a=0（舍）或a=-$\sqrt{2}$（舍）．
當0＜a$＜\sqrt{2}$時，f′（a）＞0，當$\sqrt{2}$$＜a＜\sqrt{3}$時，f′（a）＜0．
∴當a=$\sqrt{2}$時，f（a）取得最大值f（$\sqrt{2}$）=4，
∴當a=$\sqrt{2}$時，V=$\frac{\sqrt{3{a}^{4}-{a}^{6}}}{2}$取得最大值1．
故答案為1．

點評 本題考查了棱柱與外接球的關系，導數(shù)與函數(shù)最值的關系，屬于中檔題．