Question

11．已知雙曲線C；$\frac{{y}^{2}}{^{2}+8}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0），點(diǎn)P是拋物線y²=12x上的一動(dòng)點(diǎn)，且P到雙曲線C的焦點(diǎn)F₁（0，c）的距離與直線x=-3的距離之和的最小值為5，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為 （　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 8
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線x=-3的距離即為PF的距離，當(dāng)F₁，P，F(xiàn)共線時(shí)，|PF₁|+|PF|取得最小值|F₁F|=5，求得c=4，再由a，b，c的關(guān)系，可得b=2，計(jì)算即可得到實(shí)軸長(zhǎng)．

解答 解：拋物線y²=12x的焦點(diǎn)F為（3，0），準(zhǔn)線為x=-3，
由拋物線的定義可得P到準(zhǔn)線x=-3的距離即為PF的距離，
由題意可得P到雙曲線C的焦點(diǎn)F₁（0，c）的距離與直線x=-3的距離之和，
即為|PF₁|+|PF|，
當(dāng)F₁，P，F(xiàn)共線時(shí)，|PF₁|+|PF|取得最小值|F₁F|=5，
即有$\sqrt{9+{c}^{2}}$=5，解得c=4，
由雙曲線C；$\frac{{y}^{2}}{^{2}+8}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0），可得
b²+8+b²=c²=16，解得b=2，
可得雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{^{2}+8}$=2$\sqrt{4+8}$=4$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)的求法，注意運(yùn)用拋物線的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線取得最小值，考查雙曲線的方程和性質(zhì)，屬于中檔題．