Question

2．設(shè)a_n（n=2，3，4…）是（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)，則$\frac{2016}{2015}$（$\frac{3^2}{a_2}$+$\frac{3^3}{a_3}$+…+$\frac{{3^{2016}}}{{a_{2016}}}$）的值是18．

Answer 1

分析 （3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展開式中，T_r+1=${∁}_{n}^{r}{3}^{n-r}（\sqrt{x}）^{r}$，令r=2，則T₃=${∁}_{n}^{2}{3}^{n-2}x$，根據(jù)a_n（n=2，3，4…）是（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)，可得a_n=${∁}_{n}^{2}$3^n-2，即$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{9}{{∁}_{n}^{2}}$=18$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展開式中，T_r+1=${∁}_{n}^{r}{3}^{n-r}（\sqrt{x}）^{r}$，
令r=2，則T₃=${∁}_{n}^{2}{3}^{n-2}x$，
∵a_n（n=2，3，4…）是（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)，
∴a_n=${∁}_{n}^{2}$3^n-2，
∴$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{9}{{∁}_{n}^{2}}$=18$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴$\frac{2016}{2015}$（$\frac{3^2}{a_2}$+$\frac{3^3}{a_3}$+…+$\frac{{3^{2016}}}{{a_{2016}}}$）=$\frac{2016}{2015}×18[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}）]$=$\frac{2016}{2015}×18×（1-\frac{1}{2016}）$=18，
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．