Question

8．已知函數(shù)f（x）=mx³+3（m-1）x²-m²+1（m＞0）的單調(diào)減區(qū)間是（0，4），則m=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，得到f′（x）＜0的解集為（0，4），轉(zhuǎn)化為一元二次不等式進行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=3mx²+6（m-1）x，
∵函數(shù)f（x）=mx³+3（m-1）x²-m²+1（m＞0）的單調(diào)減區(qū)間是（0，4），
∴f′（x）=3mx²+6（m-1）x＜0的解集為（0，4），
即x=0和x=4是方程3mx²+6（m-1）x=0的兩個根，
則48m+24（m-1）=0，
即2m+m-1=0，
解得m=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求解是解決本題的關(guān)鍵．