Question

16．已知函數(shù)f（x）=xe^x-e^x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）證明：不等式f（x）+x＜0對于任意的x∈（-1，0），恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，從而得到函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+x，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，可得g（x）＜g（0）=0，得到不等式f（x）+x＜0對于任意的x∈（-1，0）恒成立．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=xe^x-e^x+1，
∴f′（x）=xe^x，令f′（x）=0，得x=0．
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)
f′（x）	-	0	+

∴f（x）_min=f（0）=0；
（Ⅱ）證明：設(shè)g（x）=f（x）+x=xe^x-e^x+x+1，g′（x）=xe^x+1．
∵-1＜x＜0，∴0＜e^x＜1，
∴-1＜xe^x＜0，即g′（x）＞0，
則g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)-1＜x＜0時，g（x）＜g（0）=0，則原不等式成立．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．