Question

已知圓C：x²＋y²＋2x－4y＋3＝0.

(1)若不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程；

(2)從圓C外一點(diǎn)P(x，y)向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

　(1)由圓C：x²＋y²＋2x－4y＋3＝0，

得圓心坐標(biāo)C(－1,2)，半徑r＝，

∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零．

設(shè)直線l的方程為x＋y＝a，

∵直線l與圓C相切，

∴＝，

∴a＝－1或a＝3.

∴所求直線l的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

(2)∵切線PM與半徑CM垂直，設(shè)P(x，y)，

又∵|PM|²＝|PC|²－|CM|²，|PM|＝|PO|，

∴(x＋1)²＋(y－2)²－2＝x²＋y²，

∴2x－4y＋3＝0，

∴所求點(diǎn)P的軌跡方程為2x－4y＋3＝0.