Question

14．如圖，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四邊形ADEF是矩形，且平面
ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是線段CE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC∥平面DMF；
（Ⅱ）求平面DMF與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AE與DF交于點(diǎn)N．則點(diǎn)N是AE的中點(diǎn)，連結(jié)MN，利用三角形中位線定理能夠證明AC∥平面DMF．
（Ⅱ）分別以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連接AE與DF交于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則點(diǎn)N是AE的中點(diǎn)
又M是線段CE的中點(diǎn)
∴MN∥AC----------------------（2分）
又AC?平面DMF，MN?平面DMF，
∴AC∥平面DMF-----------------（4分）
（Ⅱ）解：四邊形ADEF是矩形，∴DE⊥AD
又平面ABCD丄平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD
∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥CD，
∵∠ADC=90°，
∴DE，DC，DA兩兩垂直
以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系-----（6分）

則D（0，0，0），F(xiàn)（1，0，2），M（0，1，1）----（7分）
則$\overrightarrow{DF}$=（1，0，2），$\overrightarrow{DM}$=（0，1，1）
設(shè)平面DMF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2z=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$
取$\overrightarrow{m}$=（2，1，-1）---------------（9分）
取平面ABCD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）---------------（10分）
設(shè)平面DNF與平面ABCD所成角為θ
∴cosθ=|$\frac{-1}{\sqrt{4+1+1}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的確定及證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．