Question

4．下列四個命題申是真命題的是①③④（填所有真命題的序號）
①“p∧q為真”是“p∨q為真”的充分不必要條件；
②空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等；
③在側(cè)棱長為2，底面邊長為3的正三棱錐中，側(cè)棱與底面成30°的角；
④動圓P過定點(diǎn)A（-2，0），且在定圓B：（x-2）²+y²=36的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡為一個橢圓．

Answer 1

分析 ①根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合復(fù)合命題的真假關(guān)系進(jìn)行判斷．
②根據(jù)空間角的平行定理進(jìn)行判斷．
③根據(jù)線面所成角的定義進(jìn)行求解判斷．
④根據(jù)圓與的內(nèi)切關(guān)系以及橢圓的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：①“p∧q為真”，則p，q同時為真命題，則“p∨q為真”，
當(dāng)p真q假時，滿足p∨q為真，但p∧q為假，則“p∧q為真”是“p∨q為真”的充分不必要條件正確，故①正確；
②空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補(bǔ)；故②錯誤，
③設(shè)正三棱錐為P-ABC，頂點(diǎn)P在底面的射影為O，則O為△ABC的中心，∠PCO為側(cè)棱與底面所成角
∵正三棱錐的底面邊長為3，∴CO=$\frac{\sqrt{3}}{3}×3=\sqrt{3}$
∵側(cè)棱長為2，∴$PO=\sqrt{4-3}=1$
在直角△POC中，tan∠PCO=$\frac{PO}{CO}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴側(cè)棱與底面所成角的正切值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即側(cè)棱與底面所成角為30°，故③正確，
④如圖，設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于M，則動圓的圓心P到兩點(diǎn)，即定點(diǎn)A（-2，0）和定圓的圓心B（2，0）的距離之和恰好等于定圓半徑，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，
故動圓圓心P的軌跡為一個橢圓，故④正確，
故答案為：①③④

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度中等．