Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂且傾斜角為45°的直線與雙曲線右支交于A，B兩點，則該雙曲線離心率的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 若過點F且傾斜角為45°的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則該直線的斜率的絕對值大于漸近線的斜率．根據(jù)這個結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：過F₂且傾斜角為45°的直線與雙曲線右支交于A，B兩點，
則該直線的斜率大于漸近線的斜率，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即有$\frac{a}$＜tan45°，即為b＜a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$＜$\sqrt{2}$，
可得1＜e＜$\sqrt{2}$，
故答案為：（1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意挖掘隱含條件，考查運算能力，屬于中檔題．