Question

12．已知：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，CA=CB，D是AB的中點，E是B₁C₁中點
（1）求證：平面A₁DC⊥平面ABB₁A₁
（2）在線段BB₁上是否存在一點F，使EF∥平面A₁DC，若存在，說出F點的位置，并給出證明，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知推導出CD⊥AB，AA₁⊥CD，從而CD⊥平面ABB₁A₁，由此能證明平面A₁DC⊥平面ABB₁A₁．
（2）取A₁B₁中點G，以D為原點，DC為x軸，DA為y軸，DG為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當F為BB₁中點時，EF∥平面A₁DC．

解答 證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，
CA=CB，D是AB的中點，
∴CD⊥AB，AA₁⊥CD，
∵AB∩AA₁=A，∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵CD?平面A₁A₁DC，∴平面A₁DC⊥平面ABB₁A₁．
（2）在線段BB₁上存在一點F，使EF∥平面A₁DC．
證明如下：
取A₁B₁中點G，以D為原點，DC為x軸，DA為y軸，DG為z軸，建立空間直角坐標系，
設CA=CB=2，DG=a，設線段BB₁上是一點F（0，0，t），0≤t≤a，使EF∥平面A₁DC，
A₁（0，$\sqrt{2}$，a），D（0，0，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a），
$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{3}，0，0$），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，$\sqrt{2}$，a），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$，t-a），
設平面DCA₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=\sqrt{2}y+az=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-$\frac{\sqrt{2}}{a}$），
∵EF∥平面A₁DC，∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{a}t+\sqrt{2}$=0，
解得t=$\frac{1}{2}a$，
∴當F為BB₁中點時，EF∥平面A₁DC．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足線面平行的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．