Question

3．已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為$\frac{3}{2}$，以P為原點(diǎn)且與拋物線準(zhǔn)線l相切的圓恰好過(guò)原點(diǎn)O．
（1）求拋物線C₁的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（a，0）（a＞2），圓C₂的圓心T是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，圓C₂與y軸交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=4，若點(diǎn)A到點(diǎn)T的最短距離為a-1，試判斷直線l與圓C₂的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義結(jié)合圓的性質(zhì)建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系求出圓心T的坐標(biāo)，結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 （1）∵y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為$\frac{3}{2}$，
∴|PF|=$\frac{3}{2}$，
∵以P為原點(diǎn)且與拋物線準(zhǔn)線l相切的圓恰好過(guò)原點(diǎn)O，
∴|PO|=|PF|=$\frac{3}{2}$，
即△POF為等腰三角形，過(guò)P作PQ⊥x于Q，
則x=$\frac{p}{4}$，
∴$\frac{p}{2}+\frac{p}{4}=\frac{3}{2}$得p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x．
（2）設(shè)T（x₀，y₀），圓C₂的半徑為r，
∵T是拋物線y²=4x上的動(dòng)點(diǎn)，
∴．y₀²=4x₀，（x₀≥0），
∴|AT|=$\sqrt{（{x}_{0}-a）^{2}+（{y}_{0}-0）^{2}}$=$\sqrt{[{x}_{0}-（a-2）]^{2}+4a-4}$，
∵a＞2，∴a-2＞0，
則當(dāng)x₀=a-2時(shí)，AT取得最小值為2$\sqrt{a-1}$，
由2$\sqrt{a-1}$=a-1，平方得a²-6a+5=0，得a=5或a=1（舍），
則當(dāng)x₀=a-2=3，y₀²=4x₀=12，即y₀=±2$\sqrt{3}$，
∴圓C₂的圓心T（3，±2$\sqrt{3}$），
∵圓C₂與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=4，
∴|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=4，
∴r=$\sqrt{4+{{x}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵點(diǎn)T到直線l的距離d=|x₀+1|=4$＞\sqrt{13}$，
∴直線l與圓C₂相離．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線方程的求解，以及直線和圓的位置關(guān)系的判斷，綜合性考查圓錐曲線的性質(zhì)，運(yùn)算量量較大，綜合性較強(qiáng)．