Question

3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，E在CD延長線上，且DE=CD．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿正方形ABCD的邊按逆進(jìn)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，則下列命題正確的是①②．（填上所有正確命題的序號）
①當(dāng)點(diǎn)P為AD中點(diǎn)時(shí)，λ+μ=1；
②λ+μ的最大值為3；
③若y為給定的正數(shù)，則一存在向量$\overrightarrow{AP}$和實(shí)數(shù)x，使$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$．

Answer 1

分析 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，可以得到 $\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），然后根據(jù)相對應(yīng)的條件加以判斷即可．

解答 解：由題意，設(shè)正方形的邊長為1，建立坐標(biāo)系如圖，
則B（1，0），E（-1，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$（-1，1），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），
當(dāng)點(diǎn)P為AD中點(diǎn)時(shí)，
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，$\frac{1}{2}$），
∴λ-μ=0，μ=$\frac{1}{2}$，
故λ+μ=1；故①正確，
當(dāng)P∈AB時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=0，
∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈BC時(shí)，有λ-μ=1，0≤μ≤1，
∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈CD時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=1，
∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈AD時(shí)，有λ-μ=0，0≤μ≤1，
∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
綜上，0≤λ+μ≤3，
故②正確；
若存在向量$\overrightarrow{AP}$和實(shí)數(shù)x，使$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$，（y為給定的正數(shù)），
則（x，0）+（$\frac{y（λ-μ）}{\sqrt{{（λ-μ）}^{2}{+μ}^{2}}}$，$\frac{yμ}{\sqrt{{（λ-μ）}^{2}{+μ}^{2}}}$）=（0，1），
即（x+$\frac{y（λ-μ）}{\sqrt{{（λ-μ）}^{2}{+μ}^{2}}}$，$\frac{yμ}{\sqrt{{（λ-μ）}^{2}{+μ}^{2}}}$）=（0，1），
∴x+$\frac{λ}{μ}$=1，與y無關(guān)，
故③錯(cuò)誤，
故答案為：①②．

點(diǎn)評 本題考查向量加減的幾何意義，涉及分類討論，是易錯(cuò)題．