Question

【題目】已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），當x∈（﹣∞，0]時的解析式為f（x）=x2+2x
（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象并直接寫出它的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x＞0時，﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2x=x2﹣2x

又f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x）

∴f（x）=x2﹣2x

∴

（2）解：

單調(diào)遞增區(qū)間為：（﹣1，0），（1，+∞）

單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，1），（﹣∞，﹣1）

【解析】（1）由已知中，x∈（﹣∞，0]時的解析式為f（x）=x2+2x，我們可由x＞0時，﹣x＜0，代入求出f（﹣x），進而根據(jù)y=f（x）是偶函數(shù)，得到x＞0時，f（x）的解析式；（2）根據(jù)分段函數(shù)分段畫的原則，結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式，我們易畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，我們根據(jù)從左到右圖象上升，函數(shù)為增函數(shù)，圖象下降，函數(shù)為減函數(shù)的原則，得到函數(shù)的單調(diào)性．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．