Question

17．在區(qū)間D上，如果函數(shù)f（x）為增函數(shù)，而函數(shù) $\frac{1}{x}$ f（x）為減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）為“弱增函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是否為“弱增函數(shù)”，若f（x）是“弱增函數(shù)”，請加以證明；若不是，請說明理由；
（2）當x∈[0，1]時，不等式1-ax≤$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$≤1-bx恒成立，求實數(shù)a，b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）結合函數(shù)單調性的性質，可得：f（x）在區(qū)間（0，1]為增函數(shù)，化簡$\frac{1}{x}$f（x）的解析式為$\frac{1}{1+x+\sqrt{1+x}}$，可得函數(shù)減函數(shù)，可得f（x）在區(qū)間（0，1]為“弱增”函數(shù)．
（2）當x∈（0，1]時，不等式等價于：$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{1}{x}f（x）\\ b≤\frac{1}{x}f（x）\end{array}\right.$，由$\frac{1}{x}$f（x）為減函數(shù)，可得1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{x}$f（x）＜$\frac{1}{2}$，從而求得實數(shù)a，b的取值范圍．

解答 解：（1）∵y=$\sqrt{1+x}$在區(qū)間（0，1]上為增函數(shù)，
∴y=$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$在區(qū)間（0，1]上為減函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間（0，1]為增函數(shù)，
∵$\frac{1}{x}$f（x）=$\frac{1}{x}$（1-$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x\sqrt{1+x}}$=$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x\sqrt{1+x}}$=$\frac{1}{1+x+\sqrt{1+x}}$，
∵y=1+x+$\sqrt{1+x}$在區(qū)間（0，1]上為增函數(shù)，
∴$\frac{1}{x}$f（x）為減函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間（0，1]為“弱增”函數(shù)．
（2）當x∈[0，1]時，不等式1-ax≤$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$≤1-bx恒成立．
當x=0時，不等式顯然成立．
當x∈（0，1]時．等價于：$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{1}{x}f（x）\\ b≤\frac{1}{x}f（x）\end{array}\right.$，
由（1）$\frac{1}{x}$f（x）為減函數(shù)，
∴1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{x}$f（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{x}$，b≤1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調性的判斷和證明，不等式的證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，得到當x∈（0，1]時．等價于：$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{1}{x}f（x）\\ b≤\frac{1}{x}f（x）\end{array}\right.$是解題的難點，屬于中檔題．