Question

5．斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁⊥側(cè)面ACC₁A₁，A₁B=AB=AA₁=AC=2，四邊形ACC₁A₁的面積為2$\sqrt{3}$，且∠AA₁C₁為銳角．
（1）求證：AA₁⊥BC₁；
（2）求該斜三棱柱的體積．

Answer 1

分析 （1）要證：AA₁⊥BC₁，先說明△AA₁B是等邊三角形，設(shè)D是AA₁的中點、連接BD，C₁D，證明AA₁⊥平面BC₁D，即可．
（2）求該斜三棱柱的體積，轉(zhuǎn)化為直截面的面積和高的積，即可求解．

解答 （1）證明：由題意△AA₁B是等邊三角形．（2分）
設(shè)D是AA₁的中點、連接BD，C₁D，
則BD⊥AA₁，
由四邊形ACC₁A₁的面積為2$\sqrt{3}$，且∠AA₁C₁為銳角，可得∠AA₁C₁=60°，
所以△AA₁C₁是等邊三角形，
且C₁D⊥AA₁，所以AA₁⊥平面BC₁D．（6分）
又BC₁?平面BC₁D，故AA₁⊥BC₁．（7分）
（2）解：由（1）知AA₁⊥平面BC₁D（9分），
由（1）知BD⊥AA₁，又側(cè)面ABB₁A₁⊥側(cè)面AA₁C₁C，
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
即BD⊥BC₁，
△BC₁D中，BD=BC₁=$\sqrt{3}$，${S}_{△B{C}_{1}D}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$（13分）
故該斜三棱柱的體積為$\frac{3}{2}×2$=3．（14分）

點評 本題考查直線與平面的垂直，棱錐的體積，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．