Question

7．如圖，在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AB∥CD，AD⊥AB．點(diǎn)P是直角梯形內(nèi)任意一點(diǎn)．若$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤0，則點(diǎn)P所在區(qū)域的面積是$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 可以先據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后給出已知點(diǎn)與所求的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)條件列出動(dòng)點(diǎn)P滿足的關(guān)系式，研究其幾何意義，再進(jìn)一步求區(qū)域面積．

解答 解：因?yàn)樵谥苯翘菪蜛BCD中，AB=BC=2，CD=1，AB∥CD，AD⊥AB．
所以$AD=\sqrt{B{C}^{2}-（AB-CD）^{2}}=\sqrt{3}$．
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）
則據(jù)已知可得A（0，0），B（2，0），C（1，$\sqrt{3}$），D（0，$\sqrt{3}$）．
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（-x，-y）•（2-x，-y）≤0$，
即（x-1）²+y²≤1①，設(shè)圓心T（1，0），r=1．
易得直線BC的方程為$\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$②．
聯(lián)立①②消去y得2x²-7x+6=0，解得$x=\frac{3}{2}$或x=2．
所以直線BC與圓的交點(diǎn)為M（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（2，0）．
所以弦長(zhǎng)為$\sqrt{（\frac{3}{2}-2）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}-0）^{2}}=1$．所以$∠MTN=\frac{π}{3}$．
所以所求面積為$\frac{1}{2}×{1}^{2}×\frac{2}{3}π+\frac{1}{2}×{1}^{2}×sin\frac{π}{3}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}$．

故答案為$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，一般來(lái)說(shuō)，能建系的盡量建系．