Question

12．己知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE，SD所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)異面直線所成角的定義可得分別取SC，DC，AD邊的中點(diǎn)F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四邊形AEFH為平行四邊形，所以AE∥DF，又根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得FG∥SD從而將異面直線轉(zhuǎn)化為了相交直線，即∠HFG或其補(bǔ)角即為異面直線AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．

解答 解：由于正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，故不妨設(shè)棱長(zhǎng)為a．
取SC的中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
取AD的中點(diǎn)H連接HF則可得EF∥HA，EF=HA，
故四邊形AEFH為平行四邊形，所以AE∥HF．
再取DC中點(diǎn)G，連接HG，則FG∥SD，
所以∠HFG或其補(bǔ)角即為異面直線AE、SD所成的角．
∵HF=AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$a，HG=$\sqrt{D{H}^{2}+D{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A，
∴cos∠HFG$\frac{H{F}^{2}+F{G}^{2}-H{G}^{2}}{2HF•FG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＞0．
即AE、SD所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了異面直線所成的角．解題的關(guān)鍵是要緊緊抓住利用平行的傳遞性（通常利用平行四邊形的性質(zhì)或中位線定理）將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正負(fù)判斷是這個(gè)角還是這個(gè)角的補(bǔ)角）．