【題目】在四棱錐中, 平面, , , , , 的中點, 在線段上,且滿足.

(1)求證: 平面

(2)求二面角的余弦值;

(3)在線段上是否存在點,使得與平面所成角的余弦值是,若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】分析:該題是立體幾何的有關問題,第一問在證明線面平行時,可以利用常規(guī)方法,用線面平行的判定定理來證明,也可以應用空間向量來證明用直線的方向向量與平面的法向量是垂直的即可,第二問求二面角的余弦值,用兩個平面的法向量所成角的余弦值來求得,第三問假設其存在,設出點的坐標,建立等量關系式從而求得結果,做好取舍即可.

詳解:(1)證明:取的中點, 的中點,連接

,

分別為, 的中點.

,四邊形為平行四邊形,

, 平面, 平面

平面.

1)由題意可得 , 兩兩互相垂直,如果,以為原點, , , 分別是 , 軸建立空間直角坐標系,則, , ,

設平面的法向量為

,

,令

,,

平面

平面

2)設點坐標為

, ,

設平面的法向量為,

又由圖可知,該二面角為銳角

故二面角的余弦值為

3)設, ,

與平面所成角的余弦值是∴其正弦值為

,整理得:

,解得: , (舍)

∴存在滿足條件的點, ,且

練習冊系列答案
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