Question

4．在由正整數(shù)構(gòu)成的無窮數(shù)列{a_n}中，對(duì)任意的n∈N^*，都有a_n≤a_n+1，且對(duì)任意的k∈N^*，數(shù)列{a_n}中恰有k個(gè)k，則a₂₀₁₆=63．

Answer 1

分析 利用已知條件，判斷出數(shù)列中的各項(xiàng)特點(diǎn)，判斷出第2016項(xiàng)所在的組，求出第2016項(xiàng)．

解答 解：∵對(duì)任意的正整數(shù)k，該數(shù)列中恰有k個(gè)k，
∴數(shù)列是1；2，2，；3，3，3；4，4，4，4；…
則當(dāng)n=62，
1+2+3+…+62=$\frac{62（62+1）}{2}$=1953＜2016．
當(dāng)n=63，
1+2+3+…+63=$\frac{63（63+1）}{2}$=2016．
∴a₂₀₁₆在第63組中，
故a₂₀₁₆=63．
故答案為：63．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的函數(shù)特性．解答關(guān)鍵是利用已知條件，判斷出數(shù)列具有的函數(shù)性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)求出特定項(xiàng)，是中檔題．