Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-|{x-1}|（{x≤2}）\\-\frac{1}{4}{x^2}+2x-3（x＞2）\end{array}\right.$，如在區(qū)間（1，+∞）上存在n（n≥2）個(gè)不同的數(shù)x₁，x₂，x₃，…，x_n，使得比值$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}$=$\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}$=…=$\frac{{f（{x_n}）}}{x_n}$成立，則n的取值集合是（　�。�

• A． {2，3，4，5}
• B． {2，3}
• C． {2，3，5}
• D． {2，3，4}

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}$=$\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}$=…═$\frac{{f（{x_n}）}}{x_n}$的幾何意義為點(diǎn)（x_n，f（x_n））與原點(diǎn)的連線有相同的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{{f（{x_n}）}}{x_n}$的幾何意義為點(diǎn)（x_n，f（x_n））與原點(diǎn)的連線的斜率，
∴$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}$=$\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}$=…═$\frac{{f（{x_n}）}}{x_n}$的幾何意義為點(diǎn)（x_n，f（x_n））與原點(diǎn)的連線有相同的斜率，
作出函數(shù)f（x）的圖象，在區(qū)間（1，+∞）上，
y=kx與函數(shù)f（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有1個(gè)，2個(gè)或者3個(gè)，
故n=2或n=3，
即n的取值集合是{2，3}．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，正確理解$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}$=$\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}$=…═$\frac{{f（{x_n}）}}{x_n}$的含義，是解答的關(guān)鍵．