Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

1

x2

-a（x+

1

x

）+a+2（x＞0），若f（x）的值域為[-1，+∞]，求a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法，設(shè)x+

1

x

=t，則f（t）=f（t）=t²-at+a=（t-

a

2

）²+a-

a2

4

，t≥2，根據(jù)函數(shù)的值域得到f（t）有最小值-1，分類討論求出a的值．

解答： 解：∵f（x）=x²+

1

x2

-a（x+

1

x

）+a+2=（x+

1

x

）²-a（x+

1

x

）+a，
設(shè)x+

1

x

=t，t≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
∴f（t）=t²-at+a=（t-

a

2

）²+a-

a2

4

，t≥2
∵f（x）的值域為[-1，+∞），
當(dāng)

a

2

≥2時，即a≥4時，函數(shù)f（t）_min=f（

a

2

）=a-

a2

4

=-1，
解得a=2+2

2

，或a=2-2

2

（舍去），
當(dāng)

a

2

＜2時，即a＜4時，函數(shù)f（t）_min=f（2）=4-2a+a=-1，
解得a=5，不符合題意，
綜上所述a的值為2+2

2

點評：本題主要考查了通過函數(shù)的值域參數(shù)的值的，采用了分類討論的思想和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．