Question

9．已知x²+y²+4z²=1，則x+y+4z的最大值為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 首先分析題目已知x²+y²+4z²=1，求x+y+4z的最大值，可以聯(lián)想到柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²的應用，構造出柯西不等式即可得到答案．

解答 解：由已知x，y，z∈R，x²+y²+4z²=1，和柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²
則構造出（1²+1²+2²）[x²+y²+（2z）²]≥（x+y+4z）²．
即：（x+y+4z）²≤6，當且僅當x=y=z時取等號．
即：x+y+4z的最大值為$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 此題主要考查柯西不等式的應用問題，對于不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²應用廣泛，需要同學們理解記憶．