Question

11．求函數(shù)y=$\frac{2+sinx}{2-cosx}$的值域是[$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]．

Answer 1

分析 可將原函數(shù)變成sinx+ycosx=2y-2，可根據(jù)兩角和的正弦公式得到sin（x+φ）=$\frac{2y-2}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$，而根據(jù)|sin（x+φ）|≤1便得到$\frac{|2y-2|}{\sqrt{1+{y}^{2}}}≤1$，解該不等式即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：由原函數(shù)得：2y-ycosx=2+sinx；
∴sinx+ycosx=2y-2；
∴$\sqrt{1+{y}^{2}}$sin（x+φ）=2y-2；
∴sin（x+φ）=$\frac{2y-2}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$；
∴$\frac{|2y-2|}{\sqrt{1+{y}^{2}}}≤1$，兩邊平方并整理得：
3y²-8y+3≤0；
解得$\frac{4-\sqrt{7}}{3}≤y≤\frac{4+\sqrt{7}}{3}$；
∴原函數(shù)的值域為：$[\frac{4-\sqrt{7}}{3}，\frac{4+\sqrt{7}}{3}]$．
故答案為：[$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，由兩角和的正弦公式：asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+φ），正弦函數(shù)的值域，通過兩邊平方解無理不等式及含絕對值不等式的方法，解一元二次不等式．