Question

12．已知$\vec a=（sinπx，1），\vec b=（\sqrt{3}，cosπx）$，$f（x）=\vec a•\vec b$
（I）若x∈[0，2]，求$f（x）=\vec a•\vec b$的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設y=f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的坐標為P，第一個最低點的坐標為Q，坐標原點為O，求∠POQ的余弦值．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)量積運算性質(zhì)、和差公式可得$f（x）=\vec a•\vec b=\vec a=\sqrt{3}sinπx+cosπx=2sin（πx+\frac{π}{6}）$，再利用單調(diào)性即可得出．
（I I）由題意得P$（\frac{1}{3}，2）$，Q$（\frac{4}{3}，-2）$．根據(jù)距離公式及其余弦定理即可得出．

解答 解：（I）$f（x）=\vec a•\vec b=\vec a=\sqrt{3}sinπx+cosπx=2sin（πx+\frac{π}{6}）$，
$2kπ-\frac{π}{2}≤πx+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$2k-\frac{2}{3}≤x≤2k+\frac{1}{3}$，
∵x∈[0，2]時，$0≤x≤\frac{1}{3}$或$\frac{4}{3}≤x≤2$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[0，\frac{1}{3}]$，$[\frac{4}{3}，2]$．
（I I）由題意得P$（\frac{1}{3}，2）$，Q$（\frac{4}{3}，-2）$．
根據(jù)距離公式$|OP|=\sqrt{{{（\frac{1}{3}）}^2}+{2^2}}=\frac{{\sqrt{37}}}{3}$，$|OQ|=\sqrt{{{（\frac{4}{3}）}^2}+{{（-2）}^2}}=\frac{{2\sqrt{13}}}{3}$，$|PQ|=\sqrt{{{（\frac{1}{3}-\frac{4}{3}）}^2}+{{（2+2）}^2}}=\sqrt{17}$，
根據(jù)余弦定理$cos∠POQ=\frac{{\frac{37}{9}+\frac{52}{9}-17}}{{2•\frac{{\sqrt{37}}}{3}•\frac{{2\sqrt{13}}}{3}}}=\frac{{-\frac{64}{9}}}{{\frac{{4\sqrt{481}}}{9}}}=-\frac{{16\sqrt{481}}}{481}$，

點評 本題考查了向量的數(shù)量積，三角恒等變換、正弦性函數(shù)的性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．