Question

17．設定義在R上的奇函數(shù)y=f（x），滿足對任意t∈R都有f（t）=f（1-t），且$x∈[0，\frac{1}{2}]$時，f（x）=-x²，則f（2015）的值等于（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{4}$
• C． 0
• D． $-\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得函數(shù)y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，結合$x∈[0，\frac{1}{2}]$時，f（x）=-x²，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（t）=f（1-t），
∴f（x+2）=f[1-（x+2）]=f（-x-1）=-f（x+1）=-f[1-（x+1）]=-f（-x）=f（x），
即函數(shù)y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
故f（2015）=f（1）=-f（0），
又∵$x∈[0，\frac{1}{2}]$時，f（x）=-x²，
∴f（2015）=f（1）=-f（0）=0，
故選：C

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的對稱性，函數(shù)的周期性，函數(shù)求值，根據(jù)已知分析出函數(shù)y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，是解答的關鍵．