Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線（）交橢圓于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.過(guò)原點(diǎn)的一條直線與直線交于點(diǎn)，與直線分別交于點(diǎn).

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（ⅱ）若，求證：點(diǎn)在一條定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）將點(diǎn)代入直線方程可求得，結(jié)合離心率和橢圓關(guān)系可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）設(shè)，

（i）將直線與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，利用弦長(zhǎng)公式表示出，由二次函數(shù)最大值可求得的最大值；

（ii）設(shè)直線，直線，兩式聯(lián)立可求得，同理可得，根據(jù)得到，整理得，將直線與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，代入上式得，從而得到，將直線與直線聯(lián)立可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.

（1）設(shè)

點(diǎn)在直線上 ，解得：

離心率 ，

橢圓的方程為

（2）設(shè)，

（i） 由消去可得：

即，由得：

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值

（ii）若，則為的中點(diǎn)

設(shè)直線，直線

兩個(gè)方程聯(lián)立可得：，解得：

同理可得：

即

化簡(jiǎn)得：…①

由得：，即

由得：

，

代入①得：

，即

若，則直線過(guò)點(diǎn)，與已知不符合

又

又由，聯(lián)立消去得：

點(diǎn)在定直線上