Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1+9{x}^{2}，}}&{x≤0}\\{1+x{e}^{x-1}，}&{x＞0}\end{array}\right.$，點(diǎn)A、B是函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)，則∠AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{π}{4}$）
• B． （0，$\frac{π}{4}$]
• C． （0，$\frac{π}{3}$）
• D． （0，$\frac{π}{3}$]

Answer 1

分析 當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）是雙曲線得到漸近線的斜率k=-3，當(dāng)x＞0時(shí)，求函數(shù)過原點(diǎn)的切線，根據(jù)直線的夾角公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x≤0時(shí)，由y=$\sqrt{1+9{x}^{2}}$得y²-9x²=1，（x≤0），此時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線為雙曲線，雙曲線的漸近線為y=-3x，此時(shí)漸近線的斜率k₁=-3，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=1+xe^x-1，當(dāng)過原點(diǎn)的直線和f（x）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（a，1+ae^a-1），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1+xe^x-1=（x+1）e^x-1，
則切線斜率k₂=f′（a）=（a+1）e^a-1，
則對(duì)應(yīng)的切線方程為y-（1+ae^a-1）=（1+a）e^a-1（x-a），
即y=（1+a）e^a-1（x-a）+1+ae^a-1，
當(dāng)x=0，y=0時(shí)，（1+a）e^a-1（-a）+1+ae^a-1=0，
即a²e^a-1+ae^a-1=1+ae^a-1，
即a²e^a-1=1，得a=1，此時(shí)切線斜率k₂=2，
則切線和y=-3x的夾角為θ，
則tanθ=|$\frac{-3-2}{1-2×3}$|=$\frac{5}{5}=1$，則θ=$\frac{π}{4}$，
故∠AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是（0，$\frac{π}{4}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線夾角的求解，根據(jù)雙曲線的漸近線和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．