Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）．
（1）寫出a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）由（1）寫出數(shù)列{a_n}的一個通項公式；
（3）判斷實數(shù)$\frac{1}{2015}$是否為數(shù)列{a_n}中的一項？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系式直接a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）利用所求各項，直接寫出數(shù)列{a_n}的一個通項公式；
（3）利用通項公式判斷實數(shù)$\frac{1}{2015}$是否為數(shù)列{a_n}中的一項，n是正整數(shù)則是數(shù)列的項，否則不是數(shù)列的項．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由已知可得${a_2}=\frac{1}{4}，{a_3}=\frac{1}{6}，{a_4}=\frac{1}{8}，{a_5}=\frac{1}{10}$；  （4分）
（2）由（1）可得數(shù)列{a_n}的一個通項公式為${a_n}=\frac{1}{2n}$； （8分）
（3）令$\frac{1}{2n}=\frac{1}{2015}$，解得n=1007.5，（10分）
因為n∈N^*，所以n=1007.5不合題意，故$\frac{1}{2015}$不是數(shù)列{a_n}中的一項．（12分）

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)的特征，考查計算能力．