Question

【題目】若a≥0，試討論函數(shù)g（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】解： = ．

∵函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞），

∴當a=0時， ，

由g'（x）＞0，得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1．

即函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；

當a＞0時，令g'（x）=0，得x=1或 ．

若 ，即 時，

由g'（x）＞0，得x＞1或 ，由g'（x）＜0，得 ．

即函數(shù)g（x）在 ，（1，+∞）上單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減；

若 ，即 時，

由g'（x）＞0，得 或0＜x＜1，由g'（x）＜0，得 ．

即函數(shù)g（x）在（0，1）， 上單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減；

若 ，即 時，在（0，+∞）上恒有g(shù)'（x）≥0．

即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

綜上所述：

當a=0時，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；

當 時，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，

在 單調(diào)遞減；在 上單調(diào)遞增；

當 時，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

當 時，函數(shù)g（x）在 上單調(diào)遞增，

在 單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，求得導函數(shù)的零點，然后對a分類分析導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號，得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．