Question

8．已知數(shù)列{a_n}共有9項，其中，a₁=a₉=1，且對每個i∈{1，2，…，8}，均有$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$∈{2，1，-$\frac{1}{2}$}，記S=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$，則S的最小值為（　　）

• A． 5
• B． 5$\frac{1}{2}$
• C． 6
• D． 6$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 令b_i=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$（1≤i≤8），根據(jù)數(shù)列比值的關(guān)系，結(jié)合S的表達式進行推導(dǎo)即可．

解答 解：令b_i=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$（1≤i≤8），
則對每個符合條件的數(shù)列{a_n}滿足$\sum_{i=1}^{8}$b_i=$\sum_{i=1}^{8}$$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$=$\frac{{a}_{9}}{{a}_{1}}$=1，
且b_i∈{2，1，-$\frac{1}{2}$}，1≤i≤8．
反之，由符合上述條件的八項數(shù)列{b_n}可唯一確定一個符合題設(shè)條件的九項數(shù)列{a_n}．
記符合條件的數(shù)列{b_n}的個數(shù)為N，
由題意知b_i（1≤i≤8）中有2k個-$\frac{1}{2}$，2k個2，8-4k個1，
且k的所有可能取值為0，1，2．
對于三種情況，當(dāng)k=2時，S取到最小值6．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列的相鄰兩項比值之和的最小值的求法，考查滿足條件的數(shù)列的個數(shù)的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．