3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=$\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}(n∈{N^*})$,其中a1=1,an≠0.
(Ⅰ)求a2,a3,a4
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和Tn

分析 (I)運(yùn)用遞推關(guān)系式Sn=$\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}(n∈{N^*})$,n=1時(shí)求解,a2=2;再運(yùn)用求解a3,a4
(II)運(yùn)用遞推關(guān)系式得出${a_{n+1}}={S_{n+1}}-{S_n}=\frac{1}{2}{a_{n+1}}{a_{n+2}}-\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}$,化簡(jiǎn)得出an+2-an=2,可判斷出數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)是以2為公差的等差數(shù)列.再運(yùn)用等差數(shù)列求和公式即可.

解答 解:(Ⅰ)∵${S_n}=\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}(n∈{N^*})$,a1=1,an≠0,
∴${a_1}=\frac{1}{2}{a_1}{a_2}$,即a2=2;
同理a3=3,a4=4.
(Ⅱ)∵${S_n}=\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}$,∴${a_{n+1}}={S_{n+1}}-{S_n}=\frac{1}{2}{a_{n+1}}{a_{n+2}}-\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}$,
∵an≠0,∴an+1≠0,
∴${a_{n+2}}={a_n}+2(n∈{N^*})$,即an+2-an=2,
∴數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)是以2為公差的等差數(shù)列.
又由(Ⅰ)知,a2=2,∴a2n=2+2(n-1)=2n,
∴${T_n}=\frac{{n({a_2}+{a_{2n}})}}{2}=\frac{n(2+2n)}{2}=n(n+1)={n^2}+n$.

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了數(shù)列的概念,符號(hào)語(yǔ)言,遞推關(guān)系式,關(guān)鍵是判斷分析數(shù)列的類(lèi)型,運(yùn)用公式即可.

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