Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R⁺，且滿足條件f（4）=1，對任意x₁，x₂∈R^﹢，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x₁≠x₂時，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x+6）＞2，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（1）=f（1）+f（1），由此求得f（1）的值．
（2）由條件可得f（16）=2，再根據(jù)函數(shù)f（x）在定義域R上是增函數(shù)以及f（x+6）＞2，可得x+6＞16，由此求得 x的值．

解答： 解：（1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1），故 f（1）=0．
（2）由條件可得f（16）=f（4）+f（4）=2，由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，可得函數(shù)f（x）在定義域R上是增函數(shù)，再根據(jù)f（x+6）＞2，
可得f（x+6）＞f（16），∴x+6＞16，x＞10．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，求函數(shù)的值，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題．